Abstract Here we present multivariate quantitative approximations of Banach space valued continuous multivariate functions on a box or RN, N ∈ N, by the multivariate normalized, quasi-interpolation, Kantorovich type and quadrature type neural network operators. We treat also the case of approximation by iterated operators of the last four types. These approximations are derived by establishing multidimensional Jackson type inequalities involving the multivariate modulus of continuity of the engaged function or its high order Fréchet derivatives. Our multivariate operators are defined by using a multidimensional density function induced by several different among themselves general sigmoid functions. This is done on the purpose to activate as many as possible neurons. The approximations are pointwise and uniform. The related feed-forward neural network is with one hidden layer. We finish with related Lp approximations.

Resumen Presentamos aproximaciones multivariadas cuantitativas de funciones multivariadas continuas con valores en un espacio de Banach definidas en una caja o en RN, N ∈ N, a través de operadores de redes neuronales multivariados normalizados, de cuasi-interpolación, de tipo Kantorovich y de tipo cuadratura. También tratamos el caso de aproximación usando operadores iterados de los últimos cuatro tipos. Estas aproximaciones se derivan estableciendo desigualdades multidimensionales de tipo Jackson que involucran el módulo de continuidad multivariado de la función comprometida o sus derivadas de Fréchet de alto orden. Nuestros operadores multivariados son definidos usando una función de densidad multidimensional inducida por varias funciones sigmoidales generales diferentes entre sí. Esto se hace con el propósito de activar la mayor cantidad de neuronas posible. Las aproximaciones son puntutales y uniformes. La red neuronal prealimentada relacionada tiene un nivel oculto. Concluimos con aproximaciones Lp relacionadas.

Resumen. Usando fórmulas de Taylor vectoriales fraccionarias izquierda y derecha de Caputo generalizadas, establecemos desigualdades fraccionarias mixtas de tipo Ostrowski y Grüss que involucran varias funciones valoradas del álgebra de Banach. Las estimaciones son con respecto a todas las normas ∥·∥p, 1 ≤ p ≤ ∞.

Abstract. Using generalized Caputo fractional left and right vectorial Taylor formulae, we establish mixed fractional Ostrowski and Grüss type inequalities involving several Banach algebra valued functions. The estimates are with respect to all norms ∥·∥p, 1 ≤ p ≤ ∞. MSC2010: 26A33, 26D10, 26D15.

ABSTRACT Here we introduce the generalized Prabhakar fractional calculus and we also combine it with the generalized Hilfer calculus. We prove that the generalized left and right side Prabhakar fractional integrals preserve continuity and we find tight upper bounds for them. We present several left and right side generalized Prabhakar fractional inequalities of Hardy, Opial and Hilbert-Pachpatte types. We apply these in the setting of generalized Hilfer calculus.

RESUMEN Introducimos el cálculo fraccionario generalizado de Prabhakar y también lo combinamos con el cálculo generalizado de Hilfer. Demostramos que las integrales fraccionarias generalizadas de Prabhakar izquierda y derecha preservan la continuidad y encontramos cotas superiores ajustadas para ellas. Presentamos diversas desigualdades fraccionarias generalizadas de Prabhakar izquierda y derecha de tipos Hardy, Opial y Hilbert-Pachpatte. Aplicamos estos resultados en el contexto del cálculo generalizado de Hilfer.

Abstract We present Ostrowski-Sugeno fuzzy type inequalities. These are Ostrowski-like inequalities in the context of Sugeno fuzzy integral and its special properties are investigated. Tight upper bounds to the deviation of a function from its Sugeno-fuzzy averages are given. This work is greatly inspired by [3] and [1].

Resumen: Presentamos desigualdades de Ostrowski-Sugeno de tipo fuzzy. Estas son desigualdades de tipo Ostrowski en el contexto de integrales fuzzy de Sugeno y se investigan sus propiedades especiales. Se entregan cotas superiores ajustadas para la desviación de una función de sus promedios fuzzy de Sugeno. Este trabajo está inspirado principalmente por [3] y [1].

ABSTRACT Here we present Caputo fractional Iyengar type inequalities with respect to Lp norms,with 1 ≤ p ≤ ∞. The method is based on the right and left Caputo fractional Taylor’s formulae.

RESUMEN Aquí presentamos desigualdades de tipo Caputo fraccional Iyengar con respecto a las normas Lp, con 1 ≤ p ≤ ∞. El método se basa en las fórmulas de Taylor fraccionales de Caputo derecha e izquierda.

Abstract In this article we present multivariate basic approximation by a Kantorovich-Shilkret type quasi-interpolation neural network operator with respect to supremum norm. This is done with rates using the multivariate modulus of continuity. We approximate continuous and bounded functions on RN, N ∈ N. When they are additionally uniformly continuous we derive pointwise and uniform convergences.

Resumen En este artículo presentamos un resultado de aproximación básico multivariado a través de un operador de cuasi-interpolación en red neuronal de tipo Kantorovich-Shilkret con respecto a la norma del supremo. Esto se realiza con tasas usando el módulo de continuidad multivariado. Aproximamos funciones continuas y acotadas en RN, N ∈ N. Cuando ellas son adicionalmente uniformemente continuas, derivamos convergencias puntuales y uniformes.

Abstract A very general positive sublinear Shilkret integral type operator is given through a convolution-like iteration of another general positive sublinear operator with a scaling type function. For it sufficient conditions are given for shift invariance, preservation of global smoothness, convergence to the unit with rates. Additionally, two examples of very general specialized operators are presented fulfilling all the above properties, the higher order of approximation of these operators is also considered.

Resumen Un operador muy general positivo sublineal de tipo integral de Shilkret es dado a través de un iteración de tipo convolución de otro operador general positivo sublineal con una función de tipo escalamiento. Para estos operadores, se entregan condiciones suficientes para invariancia por shifts, conservación de la suavidad global y convergencia a la unidad con tasas. Adicionalmente, se presentan dos ejemplos de operadores muy generales especializados que satisfacen todas las propiedades anteriores, también considerando el alto orden de aproximación de estos operadores.

We present here a strong right fractional calculus theory for Banach space valued functions of Caputo type. Then we establish many right fractional Bochner integral inequalities of various types.

Aquí se examinan funciones de error basadas en cuasi-interpolación de operadores de redes neuronales de una capa oculta. Basado en teoría de cálculo fraccional se deriva una expansión de asintótica de tipo Voronovskaya para el error de aproximación de estos operadores al operador unitario, así como el caso univariado. También se trata análogamente el caso multivariado.

Here we examine the quasi-interpolation error function based neural network operators of one hidden layer. Based on fractional calculus theory we derive a fractional Voronovskaya type asymptotic expansion for the error of approximation of these operators to the unit operator, as we are studying the univariate case. We treat also analogously the multivariate case.

Let f ? Cs ([-1, 1]), s? N and L* be a linear left fractional differential operator such that L* (f) = 0 on [0, 1]. Then there exists a sequence Qn, n ?<img border=0 width=19 height=19 src="http:/fbpe/img/cubo/v17n1/art05-1.jpg"> of polynomial splines with equally spaced knots of given fixed order such that L* (Qn) = 0 on [0, 1]. Furthermore f is approximated with rates fractionally and simultaneously by Qn in the uniform norm. This constrained fractional approximation on [-1, 1] is given via inequalities invoving a higher modulus of smoothness of f(s).

Sea f ? Cs ([-1, 1]), s? N y L* un operador diferencial fraccionario lineal izquierdo tal que L* (f) = 0 en [0, 1].. Entonces, existe una sucesión Qn, n ?<img border=0 width=19 height=19 src="http:/fbpe/img/cubo/v17n1/art05-1.jpg"> de splines polinomiales con nodos equiespaciados de un orden fijo dado tal que L* (Qn) = 0 en [0, 1]. Además, f se aproxima con velocidades fraccionales y simult´aneamente por Qn en la norma uniforme. Esta aproximación fraccional restringida a [-1, 1] se encuentra por medio de desigualdades que involucran un módulo alto de suavidad de f(s).

Here is introduced a right general fractional derivative Caputo style with respect to a base absolutely continuous strictly increasing function g. We give various examples of such right fractional derivatives for different g. Let f be p-times continuously differentiable function on [a, b], and let L be a linear right general fractional differential operator such that L (f) is non-negative over a critical closed subinterval J of [a, b]. We can find a sequence of polynomials Qn of degree less-equal n such that L (Qn) is non-negative over J, furthermore f is approximated uniformly by Qn over [a, b] . The degree of this constrained approximation is given by an inequality using the first modulus of continuity of f(p). We finish we applications of the main right fractional monotone approximation theorem for different g.

Aquí introducimos una derivada fraccional derecha general al estilo de Caputo con respecto a una base de funciones absolutamente continuas estrictamente crecientes g. Damos varios ejemplos de dichas derivadas fraccionales derechas para diferentes g. Sea f una función p-veces continuamente diferenciable en [a, b], y sea L un operador diferencial fraccional derecho general tal que L(f) es no-negativo en un subintervalo cerrado crítico J de [a, b]. Podemos encontrar una sucesión de polinomios L (Qn) de grado menor o igual a n tal que L (Qn) es no-negativo en J, más aún f es aproximada uniformemente por Qn en [a, b] . El grado de esta aproximación restringida es dada por una desigualdad usando el primer módulo de continuidad de f(p). Concluimos con aplicaciones del teorema principal de aproximación monótona fraccional derecha para diferentes g.

Here are studied in terms of multivariate fuzzy high approximation to the multivariate unit basic sequences of multivariate fuzzy neural network operators. These operators are multivariate fuzzy analogs of earlier studied multivariate real ones. The produced results generalize earlier real ones into the fuzzy setting. Here the high order multi-variate fuzzy pointwise convergence with rates to the multivariate fuzzy unit operator is established through multivariate fuzzy inequalities involving the multivariate fuzzy moduli of continuity of the Nth order (N <img border=0 width=28 height=21 src="http:/fbpe/img/cubo/v16n3/art03-a.jpg">1) H-fuzzy partial derivatives, of the engaged multivariate fuzzy number valued function.

Utilizando aproximaciones multivariadas difusas superiores, estudiamos la aplicación a secuencias basicas unitarias multivariadas de operadores de redes neuronales disfusas multivariadas. Estos operadores son analogos difusos multivariados de los reales multi-variados estudiados anteriormente. Los resultados obtenidos generalizan los resultados reales anteriores en el marco difuso. La convergencia puntual difusa multivariada de orden superior con velocidades para los operadores unitarios difusos multivariados se establece a travóes de desigualdades difusas multivariadas que involucran los móodulos de continuidad difusos multivariados de las derivadas parciales H-difusas de N-ésimo orden ( N <img border=0 width=28 height=21 src="http:/fbpe/img/cubo/v16n3/art03-a.jpg">1 ) de las funciones con valores numóericos difusos multivariados

Here we study further the multivariate quasi-interpolation of sigmoidal and hyperbolic tangent types neural network operators of one hidden layer. We derive multivariate Voronovskaya type asymptotic expansions for the error of approximation of these operators to the unit operator.

Aquí estudiamos extensiones de la cuasi-interpolación multivariada de operadores de redes neuronales de tipo sigmoidal y tangente hiperbólica de una capa oculta. Obtenemos expansiones asintóticas del tipo Voronovskaya para el error de aproximación de estos operadores para el operador unidad.

Here we study basic approximation properties with rates of our discrete versions of Picard, Gauss-Weierstrass, Poisson-Cauchy singular operators and of two other discrete operators. We prove uniform convergence of these operators to the unit operator. Also all these operators fulfill the global smoothness preservation property. The discussed operators act on the space of uniformly continuous functions over the real line.

Aquí estudiamos las propiedades de aproximación básica con cocientes de nuestras versiones discretas de operadores singulares de Picard, Gauss-Weierstrass, Poisson-Cauchy y de otros dos operadores discretos. Probamos la convergencia uniforme de estos operadores al operador unitario. Además, todos estos operadores satisfacen la propiedad de preservación de suavidad global. Los operadores discutidos actúan sobre el espacio de funciones uniformemente continua sobre la recta real.

In this article we study the approximation properties of general singular integral operators over the real line. We establish their convergence to the unit operator with rates. The estimates are mostly sharp and they are pointwise or uniform. The established inequalities involve the higher order modulus of smoothness. We apply this theory to the trigonometric singular operators.

En este artículo estudiamos propiedades de aproximación de operadores integrales singulares generales sobre la recta real. Establecemos su convergencia al operador unidad con las tasas correspondientes. Las estimaciones son mayormente ajustadas y son tanto puntuales como uniformes. Las desigualdades encontradas involucran el módulo de suavidad de alto orden. Aplicamos esta teoría a los operadores singulares trigonométricos.